Ordinul unui subgrup

Teorema lui Lagrange 

 

Fie ( ) un grup și H o submulțime nevidă a lui G. Cuplul ( ) se numește subgrup a lui ( ) dacă operația " " este lege de compoziție pe H și determină pe H o structură de grup.

 

Teorema (criteriul subgrupului)

Fie ( ) un grup și H o submulțime nevidă a lui G. Atunci ( ) este subgrup al lui G dacă și numai dacă  (y' fiind simetricul lui y în G).

 

Observații: Dacă legea lui G este ( ), condiția din teoremă se scrie 

Dacă legea lui G este (+), condiția din teoremă se scrie 

 

Axiomele subgrupului

Sunt 3 axiome:

1. 

2. pentru orice

3. pentru orice (unde  este simetricul lui x în raport cu legea de compoziție " ")

 

Exemplu: Să se arate că mulțimea H este subgrup al grupului G, unde și 

 

Rezolvare: Avem de verificat pentru subg